Segermålet – 2–1 och 3–2 totalt över två semifinaler mot Leicester – kom i 93:e minuten.
Villas supportrar, som inte haft mycket att fira den här säsongen, blev så till sig att de i tusental stormade planen på Villa Park.
Matt Targett gav Villa ledningen redan i 12:e minuten, men när Kelechi Iheanacho kvitterade en bra bit in i 72:a minuten var mötet helt jämnt och såg ut att få avgöras på straffsparkar.
I finalen får Aston Villa möta Manchester City eller Manchester United. City är 3–1 upp inför onsdagskvällens retur på hemmaplan.