Bäckström smög fram framför målet och petade in en fin pass från Lars Eller med klubban när Washington tagit ut målvakten, och laget dessutom spelade i powerplay.
Målet är svenskens andra för säsongen, och innebar ställningen 5–5 vid slutsignal. Christian Djoos hade tidigare i matchen noterats för en assist.
Förlängningen slutade mållös och i straffskjutningen vände lyckan för Bäckström, som missade den avgörande straffen.
Florida bröt i och med matchen sin förlustsvit och tog säsongens första seger.
Forsberg målskytt
I Calgary fortsatte Filip Forsbergs målskörd. Hans 5–3-mål för sitt Nashville med hjälp av backhanden i tom målbur fastställde slutresultatet.
Det är tredje matchen i rad som Forsberg gör mål och hittills under säsongen har han noterats för poäng i fem av sex matcher.
Förutom målet stod Forsberg också för en assist och han leder fortsatt både interna målligan och poängligan i Nashville.