Mike Brown gjorde ett försök i vardera halvleken på väg mot triumfen inför ett fullsatt Twickenham Stadium i sydvästra London.
De 82 000 åskådarna kunde pusta ut när Billy Vunipola ordnade Englands fjärde försök och bonuspoängen på tilläggstid.
– All heder åt dem. De satte oss under hård press. Det hängde på slutsekunderna och det kan bli avgörande (för vilka som tar sig vidare till kvartsfinal från gruppen där också Australien och Wales ingår). Det var en bra start för oss, sade Englands lagkapten Chris Robshaw till ITV.