En uppretad Wawrinka tackade sedan domaren för matchen medan Rune tackade publiken under återhållsamma former.
Rune avgjorde på en otagbar volley. 19-åringen, som nyligen vann Stockholm Open, hade under mötet med den 37-årige före detta världstrean Wawrinka räddat tre matchbollar. Två i andra set och en i tredje i matchen som tog slut efter midnatt.
På läktaren jublades det högt i Runes box där bland andra mamma Aneke och stjärntränaren Patrick Mouratouglu fanns på plats.
Wawrinka sa att Rune betett sig ”som en barnunge på banan” medan han höll fast hans hand vid nätkanten efter matchen.
Djokovic vidare efter tuff match
Redan i kväll kommer Rune, som efter titeln i Stockholm och finalplatsen i Basel stigit från 27:e till 18:e plats på rankingen, att spela igen. Han möter den polske världstian Hubert Hurkacz.
Den förre världsettan Novak Djokovic, regerande mästare i Paris, är också vidare, i hans fall till tredje omgången efter en bye, mot Maxime Cressy, som imponerade med sitt spel i Stockholm Open, efter 7-6(7-1),6-4.
– Det var väldigt tufft att spela mot honom under de här omständigheterna där det är ett snabbare underlag än förra året, sade Djokovic enligt AP.