Enligt Peskov uttrycker Erdogan i brevet att han vill göra allt för att återupprätta de traditionellt goda förbindelserna mellan länderna.
Det har ännu inte kommit någon kommentar från Ankara i anslutning till brevet.
Efter nedskjutningen vid gränsen mellan Turkiet och Syrien i november försämrades relationerna mellan Ryssland och Turkiet drastiskt.
Brevet till Putin bekräftas av Erdogans talesman Ibrahim Kalin, men denne nämner inget om att det uttryckligen ska ha framförts någon ursäkt. Kalin säger att Erdogan i brevet beklagar nedskjutningen och ber pilotens familj att ”ursäkta oss”.