De två chefsförhandlarna, britten David Frost och EU-förhandlaren Michel Barnier, möttes på lördagseftermiddagen i Bryssel. Strax före midnatt var samtalen ännu inte avslutade.
På söndagen väntas Storbritanniens premiärminister Boris Johnson samtala med EU-kommissionens ordförande Ursula von der Leyen.
Enligt en brittiska regeringskälla kommer premiärministern att vända på varje sten i strävan för att nå ett avtal.
– Men han är glasklar: Ett avtal måste vara rättvist och respektera Storbritanniens fundamentala position att de kommer att vara en suverän stat om tre veckor, säger källan enligt BBC.
Under morgonen meddelade Storbritanniens utrikesminister Dominic Raab att det är långt kvar till en överenskommelse i samtalen. Men han stängde inte dörren för fortsatta förhandlingar efter idag, rapporterar Reuters.
Kan bli hård brexit
Båda parter har varnat för att det sannolikt inte kommer att gå att nå ett avtal. I torsdags konstaterade Boris Johnson att en avtalslös brexit är sannolik. Samtidigt meddelade Ursula von der Leyen att ”sannolikheten är större att det inte blir ett avtal än att det blir ett avtal”.
En av de främsta stridsfrågorna handlar om hur Storbritannien ska förhålla sig till EU:s ekonomiska regler i framtiden.
EU vill förhindra att Storbritannien får, som unionen anser det, en orättvis konkurrensfördel med tullfri tillgång till sina marknader, samtidigt som Storbritannien sätter sin egna regler för produkter, anställningsrättigheter och företagsstöd.
En annan avgörande fråga rör fiskerättigheterna. EU har varnat för att brittiska fiskare inte längre kommer att få särskild tillgång till EU-marknader för att sälja sina varor, om inte fiskare från EU får tillgång till brittiska vatten.
Under lördagen bekräftade den brittiska regeringen att man förbereder sig för att ta itu med ”hot om olagligt fiske” i brittiska vatten.
Utan ett spikat avtal lämnar Storbritannien EU:s inre marknad och tullunion vid nyår genom en så kallad hård brexit. Det innebär i så fall att de ekonomiska relationerna mellan London och Bryssel tills vidare får följa världshandelsorganisationen WTO:s mer allmänna regler, med allehanda tullar och kvoter.