Malmö FF var under stora delar av matchen i den ungerska huvudstaden spelförande.
Men segern satt långt inne, och blev till slut 2–0.
Berget assisterade
Det första målet kom i den 42:a minuten. Jo Inge Berget sköt ett skott till höger om straffområdet. Målvakten räddade skottet, och bollen gick tillbaka till Berget som sköt in den till målområdet, där Toivonen stötte in bollen i öppet mål.
På tv-bilderna såg dock Toivonen ut att vara misstänkt nära offside, men det grekiska domarteamet valde att godkänna målet.
Lokomitiva Zagreb i nästa omgång
I slutminuterna säkrade MFF definitivt segern, då Arnor Traustason med ett fint skott satte 2–0.
– Det var en svår uppgift men jag tycker att vi löste det fint. Vi spelade klokt. Vi spelade med hjärta och hjärna. Det är lite annorlunda att spela när det bara är en match, säger MFF-tränaren Jon Dahl Tomasson till Kvällsposten.
I och med segern är MFF vidare till den tredje kvalomgången, där kroatiska Lokomotiva Zagreb väntar.
UEFA Europa League
Budapest Honvéd
0 - 2
Malmö FF
Fakta: Europa League-kval
Fyra svenska lag spelade den andra kvalrundan till Europa League.
Malmö FF och Djurgården tog sig vidare från sina möten med Honvéd respektive Europa FC medan Hammarby och Göteborg är utslagna efter förlust mot Lech Poznan respektive FC Köpenhamn.
För MFF och Djurgården krävs ytterligare två segrar för att nå EL-gruppspel. På grund av coronapandemin avgörs samtliga kvalsteg i enkelmöten. Lotten har även avgjort vilket lag som får spela på hemmaplan.
Kvalomgång tre, den 24 september:
Djurgården–Cluj, Rumänien (hemma).
Malmö FF–Lokomotiva Zagreb, Kroatien (hemma).
Lottningen till playoff – det sista kvalsteget – sker den 18 september. Lottningen till gruppspelet genomförs den 2 oktober.
Matchdagar i gruppspelet: 22 och 29 oktober, 4 och 26 november, 3 och 10 december.
Källa: Uefa.