Efter att en halvtimme var spelad hade gästande ”Viola” gått upp i en 2-0-ledning och bägge målen var på straffar signerade chilenaren Erick Pulgar.
Den första kom då den landslagsmeriterade svensk-italienaren Gagliolo fällde Lorenzo Venuti och den andra kom då bollen tog på Parma-backen Matteo Darmians hand.
Juraj Kucka reducerade från elva meter fyra minuter in i andra halvlek, men närmare än så kom inte Parma trots att Kucka föll med två minuter kvar och ville ha ännu en straff.
Bägge svenskarna byttes ut i matchen – Gagliolo efter 74 minuter och Kulusevski åtta minuter senare.
Innan dagens match hade Kulusevski gjort mål i två av de tre senaste fajterna.
Förlusten var Parmas fjärde raka på hemmaplan.