Han landade på tretton under par, ett slag framför indiska doldisen Anirban Lahiri.
– Min främsta prioritet har varit att hänga med dem och golf har kommit tvåa under de här veckorna. Det är härligt att se dem och härligt att få vinna för dem, säger Smith.
Norges Viktor Hovland, som gjorde en hole in one på den tredje rundan, hamnade på en delad niondeplats på sju under par, medan Alex Norén återfanns på fyra under par, delad 26:a.
Tävlingen, som brukar kallas den femte majorn, blev kraftigt försenad på grund av regnoväder tidigare i veckan.
KLIPP: Norska kommentatorns reaktion efter Hovlands hole in one: ”Vår man!” (14 mars 2022)