Nadal gjorde det lite onödigt spännande för sig när han bjöd in Basilasjvili i matchen efter att ha tappat övertaget och förlorat det tredje setet. Men Nadal kunde mobilisera krafterna i det fjärde och avgjorde matchen.
Nu möter världsettan Dominic Thiem, Österrike, som han besegrade i finalen i Franska mästerskapen i somras. Thiem tog sig till kvartsfinal efter seger mot förra årets finalist – sydafrikanen Kevin Anderson – med setsiffrorna 7–5, 6–2, 7–6.
Argentinaren Juan Martín del Potro, som vann US open 2009, gick segrande från match mot kroaten Borna Coric med 6–4, 3–3, 6–1.
Det är det tredje året i rad som den tredjeseedade argentinaren tagit sig till kvartsfinal. Där kommer han i år att möta elfteseedade John Isner från USA.
Tidigare har del Potro vunnit sju av elva matcher mot Isner.